Номер 14, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $52^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $174^\circ$;

3) один из его углов на $28^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 4 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $4:5$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $52^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $174^\circ$;

3) один из его углов на $28^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 4 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $4:5$.

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противолежащие углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Сумма всех углов равна $360^\circ$.

1) один из его углов равен 52°

Пусть один из углов параллелограмма равен $52^\circ$. Противолежащий ему угол также равен $52^\circ$. Углы, прилежащие к той же стороне, что и данный угол, являются смежными и в сумме дают $180^\circ$. Найдем величину двух других углов:

$180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$

Таким образом, у параллелограмма два угла по $52^\circ$ и два угла по $128^\circ$.

Ответ: $52^\circ, 128^\circ, 52^\circ, 128^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 174°

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Так как данная в условии сумма $174^\circ \neq 180^\circ$, то речь идет о противолежащих углах. Противолежащие углы в параллелограмме равны, поэтому каждый из этих углов равен:

$174^\circ \div 2 = 87^\circ$

Это два острых угла параллелограмма. Два других угла (тупые) найдем, вычитая полученный угол из $180^\circ$:

$180^\circ - 87^\circ = 93^\circ$

Ответ: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.

3) один из его углов на 28° больше другого

Так как противолежащие углы равны, то эта разница может быть только между углами, прилежащими к одной стороне. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 28^\circ$. Их сумма составляет $180^\circ$. Составим уравнение:

$x + (x + 28^\circ) = 180^\circ$

$2x + 28^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 28^\circ$

$2x = 152^\circ$

$x = 76^\circ$

Меньший угол равен $76^\circ$. Тогда больший угол равен $76^\circ + 28^\circ = 104^\circ$.

Ответ: $76^\circ, 104^\circ, 76^\circ, 104^\circ$.

4) один из его углов в 4 раза меньше другого

Это условие также может относиться только к углам, прилежащим к одной стороне. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $4x$. Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$x + 4x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = 180^\circ \div 5$

$x = 36^\circ$

Меньший угол равен $36^\circ$. Тогда больший угол равен $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.

5) два его угла относятся как 4 : 5

Отношение не может быть между противолежащими углами (их отношение 1:1), значит, это углы, прилежащие к одной стороне. Пусть один угол равен $4x$, а другой — $5x$. Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$4x + 5x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = 180^\circ \div 9$

$x = 20^\circ$

Теперь найдем углы:
Первый угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
Второй угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.