Номер 10, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 56 см, а диагонали равны:

1) 35 см и 23 см;

2) 12 см и 15 см?

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 56 см, а диагонали равны:

1) 35 см и 23 см;

2) 12 см и 15 см?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенствами, связывающими периметр и диагонали четырёхугольника. Эти неравенства являются следствиями неравенства треугольника.

Пусть дан четырёхугольник ABCD со сторонами $a=AB$, $b=BC$, $c=CD$, $d=DA$. Его периметр $P = a+b+c+d$. Диагонали $d_1=AC$ и $d_2=BD$.

Неравенство 1: Любая диагональ четырёхугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим диагональ AC. Она разбивает четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
Из неравенства треугольника для $\triangle ABC$: $AC < AB+BC$.
Из неравенства треугольника для $\triangle ADC$: $AC < AD+DC$.
Складывая эти два неравенства, получаем:
$2 \cdot AC < (AB+BC) + (AD+DC)$
$2 \cdot AC < P$
$AC < P/2$
Аналогично доказывается, что $BD < P/2$.
Таким образом, для существования четырёхугольника необходимо, чтобы каждая из его диагоналей была меньше полупериметра: $d_1 < P/2$ и $d_2 < P/2$.

Неравенство 2: Для любого выпуклого четырёхугольника сумма длин диагоналей больше его полупериметра.

В выпуклом четырёхугольнике диагонали AC и BD пересекаются в некоторой точке O.
Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и частями диагоналей:
Из $\triangle OAB$: $OA+OB > AB$.
Из $\triangle OCD$: $OC+OD > CD$.
Складывая эти неравенства, получаем:
$(OA+OC) + (OB+OD) > AB+CD \implies AC+BD > AB+CD$.
Аналогично из $\triangle OBC$ и $\triangle ODA$ получаем: $AC+BD > BC+DA$.
Сложив два полученных неравенства:
$2(AC+BD) > (AB+CD) + (BC+DA)$
$2(AC+BD) > P$
$AC+BD > P/2$
Таким образом, для существования выпуклого четырёхугольника необходимо, чтобы $d_1+d_2 > P/2$.

В условии задачи дан периметр $P=56$ см. Следовательно, полупериметр $P/2 = 28$ см.

1) 35 см и 23 см

Проверим выполнение Неравенства 1 для диагоналей $d_1 = 35$ см и $d_2 = 23$ см.
Проверяем для $d_1$: $d_1 < P/2 \implies 35 < 28$.
Это неравенство ложно.
Поскольку одно из необходимых условий существования четырёхугольника не выполняется, такой четырёхугольник не существует.
Ответ: не существует.

2) 12 см и 15 см

Проверим выполнение Неравенства 1 для диагоналей $d_1 = 12$ см и $d_2 = 15$ см.
Проверяем для $d_1$: $d_1 < P/2 \implies 12 < 28$. Это неравенство верно.
Проверяем для $d_2$: $d_2 < P/2 \implies 15 < 28$. Это неравенство также верно.
Первое условие выполняется. Теперь проверим, может ли такой четырёхугольник быть выпуклым, используя Неравенство 2.
$d_1+d_2 > P/2 \implies 12+15 > 28 \implies 27 > 28$.
Это неравенство ложно. Следовательно, выпуклый четырёхугольник с такими параметрами существовать не может.

Остаётся возможность существования невыпуклого четырёхугольника. Докажем, что такой четырёхугольник существует, приведя пример.
Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник в форме "стрелы" (невыпуклый дельтоид), у которого есть ось симметрии. Пусть диагональ AC лежит на оси симметрии, а диагональ BD перпендикулярна ей и делится ею пополам.
Пусть $BD = 15$ см, $AC = 12$ см.
Пусть вершины имеют координаты: $B=(-7.5, 0)$, $D=(7.5, 0)$. Ось симметрии — ось Oy. Вершины A и C лежат на оси Oy: $A=(0, y_A)$, $C=(0, y_C)$.
Для невыпуклого четырёхугольника одна вершина (пусть C) лежит внутри треугольника, образованного тремя другими ( $\triangle ABD$ ). Это означает, что $y_A$ и $y_C$ имеют одинаковый знак, и $|y_C| < |y_A|$. Пусть $y_A > y_C > 0$.
Длина диагонали $AC = y_A - y_C = 12$, откуда $y_A = y_C + 12$.
Стороны четырёхугольника: $AB=AD$ и $CB=CD$.
$AB = \sqrt{7.5^2 + y_A^2} = \sqrt{56.25 + (y_C+12)^2}$
$CB = \sqrt{7.5^2 + y_C^2} = \sqrt{56.25 + y_C^2}$
Периметр $P = 2(AB+CB) = 56$, следовательно $AB+CB = 28$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{56.25 + (y_C+12)^2} + \sqrt{56.25 + y_C^2} = 28$
Это уравнение имеет решение при $y_C > 0$. Перенесем один из корней в правую часть и возведем в квадрат:
$\sqrt{56.25 + (y_C+12)^2} = 28 - \sqrt{56.25 + y_C^2}$
$56.25 + y_C^2 + 24y_C + 144 = 28^2 - 56\sqrt{56.25 + y_C^2} + 56.25 + y_C^2$
$24y_C + 144 = 784 - 56\sqrt{56.25 + y_C^2}$
$56\sqrt{56.25 + y_C^2} = 640 - 24y_C$
$7\sqrt{56.25 + y_C^2} = 80 - 3y_C$
Возведем в квадрат еще раз (при условии $80-3y_C \ge 0$):
$49(56.25 + y_C^2) = (80 - 3y_C)^2$
$2756.25 + 49y_C^2 = 6400 - 480y_C + 9y_C^2$
$40y_C^2 + 480y_C - 3643.75 = 0$
Решая это квадратное уравнение относительно $y_C$, получаем положительный корень $y_C \approx 5.27$. Это значение удовлетворяет условию $80-3y_C > 0$.
Поскольку мы нашли действительное положительное значение $y_C$, которое определяет геометрию фигуры, то такой невыпуклый четырёхугольник существует.
Ответ: существует (но только невыпуклый).