Номер 258, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписана окружность с центром $O$ и радиусом $\sqrt{3}$ см (рис. 40).

Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle A = 30^\circ$.

Рис. 40

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ вписана окружность с центром $O$ и радиусом $\sqrt{3}$ см (рис. 40). Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle A = 30^\circ$.

Рис. 40

Дано:
$\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник.
$\angle C = 90^\circ$.
$\angle A = 30^\circ$.
В $\triangle ABC$ вписана окружность с центром O и радиусом $r = \sqrt{3}$ см.

Найти:
Площадь $\triangle ABC$.

Решение:
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$, где $AC$ и $BC$ — катеты треугольника.

1. Пусть окружность касается сторон $AC$, $BC$ и $AB$ в точках K, M и N соответственно. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OK \perp AC$ и $OM \perp BC$. Четырехугольник $OKCM$ является квадратом, так как все его углы прямые ($\angle C = 90^\circ$, $\angle OKC = 90^\circ$, $\angle OMC = 90^\circ$) и смежные стороны $OK$ и $OM$ равны радиусу $r$. Следовательно, $CK = CM = r = \sqrt{3}$ см.

2. Центр вписанной окружности O является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, $AO$ — биссектриса угла $A$. Следовательно, $\angle CAO = \frac{\angle A}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AKO$ ($\angle AKO = 90^\circ$). Катет $OK$ равен радиусу вписанной окружности $r = \sqrt{3}$. Найдем катет $AK$ через тангенс угла $\angle KAO$: $\tan(\angle KAO) = \frac{OK}{AK} \Rightarrow AK = \frac{OK}{\tan(\angle KAO)} = \frac{r}{\tan(15^\circ)}$.

4. Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса половинного угла: $\tan(15^\circ) = \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 - \sqrt{3}$.

5. Теперь найдем длину отрезка $AK$: $AK = \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 3 + 2\sqrt{3}$ см.

6. Длина катета $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $CK$: $AC = AK + CK = (3 + 2\sqrt{3}) + \sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3}$ см.

7. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ найдем катет $BC$ через тангенс угла $A$: $\tan(A) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan(30^\circ)$. $BC = (3 + 3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 3$ см.

8. Наконец, найдем площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (3 + 3\sqrt{3}) \cdot (3 + \sqrt{3})$. $S = \frac{1}{2} \cdot 3(1 + \sqrt{3}) \cdot (3 + \sqrt{3}) = \frac{3}{2} \cdot (1 \cdot 3 + 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$. $S = \frac{3}{2} \cdot (3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3) = \frac{3}{2} \cdot (6 + 4\sqrt{3}) = 3 \cdot (3 + 2\sqrt{3}) = 9 + 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $9 + 6\sqrt{3}$ см².