Номер 256, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $M$ — середина основания $AC$. Из точки $M$ проведен перпендикуляр $MH$ к боковой стороне $BC$ (точка $H$ лежит на отрезке $BC$).

По условию, перпендикуляр $MH$ делит боковую сторону $BC$ на отрезки длиной 8 см и 18 см. Следовательно, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = 8 + 18 = 26$ см.

В равнобедренном треугольнике медиана $BM$, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $\triangle BMC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle MHC$. По условию $MH \perp BC$, значит $\angle MHC = 90^\circ$. У этих двух треугольников есть общий острый угол $\angle C$. Следовательно, треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle MHC$ подобны по двум углам (признак подобия по острому углу для прямоугольных треугольников).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:
$\frac{BC}{MC} = \frac{MC}{HC}$

Из этой пропорции можно выразить $MC^2$:
$MC^2 = BC \cdot HC$

Существует два возможных случая, так как в условии не указано, какой из отрезков ($BH$ или $HC$) равен 8 см.

Случай 1: $HC = 8$ см (отрезок, прилегающий к основанию).
Подставим известные значения в выведенную формулу:
$MC^2 = 26 \cdot 8 = 208$.
Теперь найдем квадрат высоты $BM$ из прямоугольного треугольника $\triangle BMC$ по теореме Пифагора ($BC^2 = BM^2 + MC^2$):
$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 26^2 - 208 = 676 - 208 = 468$.

Случай 2: $HC = 18$ см.
Подставим известные значения:
$MC^2 = 26 \cdot 18 = 468$.
Найдем квадрат высоты $BM$:
$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 26^2 - 468 = 676 - 468 = 208$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot MC$. Формула для площади упрощается:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot MC) \cdot BM = MC \cdot BM = \sqrt{MC^2} \cdot \sqrt{BM^2}$.

В первом случае: $S = \sqrt{208} \cdot \sqrt{468} = \sqrt{16 \cdot 13} \cdot \sqrt{36 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \cdot 6\sqrt{13} = 24 \cdot 13 = 312$ см$^2$.
Во втором случае: $S = \sqrt{468} \cdot \sqrt{208} = \sqrt{36 \cdot 13} \cdot \sqrt{16 \cdot 13} = 6\sqrt{13} \cdot 4\sqrt{13} = 24 \cdot 13 = 312$ см$^2$.

В обоих случаях результат для площади треугольника совпадает.

Ответ: 312 см$^2$.