Номер 21, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины угла $C$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $84$ см.

21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины угла $C$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $84$ см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $A$, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AK$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $∠BAK = ∠AKD$.

По условию, $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит этот угол пополам: $∠BAK = ∠DAK$.

Из двух полученных равенств следует, что $∠AKD = ∠DAK$.

Рассмотрим треугольник $ADK$. В нем два угла равны ($∠AKD = ∠DAK$), следовательно, треугольник $ADK$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = DK$.

По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины $C$. Это означает, что $CK : KD = 1 : 3$.

Пусть $CK = x$ см, тогда $KD = 3x$ см.

Так как $AD = KD$, то $AD = 3x$ см.

Длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $CK$ и $KD$:
$CD = CK + KD = x + 3x = 4x$ см.

Таким образом, смежные стороны параллелограмма равны $AD = 3x$ см и $CD = 4x$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. По условию, периметр равен 84 см.

Составим и решим уравнение:
$P = 2(AD + CD)$
$84 = 2(3x + 4x)$
$84 = 2 \cdot 7x$
$84 = 14x$
$x = 84 / 14$
$x = 6$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:
$AD = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$CD = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $BC = AD = 18$ см и $AB = CD = 24$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 18 см и 24 см.