Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^\circ$. Высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $68 \text{ см}$.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^\circ$. Высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $68$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, угол $A$ равен $60^\circ$, значит, он острый. Высота $BE$ проведена из вершины $B$ к стороне $AD$, образуя прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (где $\angle AEB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABE$ мы можем выразить катет $AE$ через гипотенузу $AB$ и прилежащий угол $\angle A$:$AE = AB \cdot \cos(\angle A)$.Подставим известные значения:$AE = AB \cdot \cos(60^\circ) = AB \cdot \frac{1}{2}$.Отсюда следует, что сторона $AB$ вдвое больше отрезка $AE$:$AB = 2 \cdot AE$.

Согласно условию, высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла $A$. Это означает, что $AE : ED = 3 : 8$.Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AE = 3x$ и $ED = 8x$.

Теперь мы можем выразить стороны параллелограмма через $x$.Сторона $AD$ состоит из двух отрезков:$AD = AE + ED = 3x + 8x = 11x$.Сторону $AB$ мы ранее выразили через $AE$:$AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot (3x) = 6x$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, периметр равен 68 см. Составим и решим уравнение:$2(6x + 11x) = 68$$2 \cdot (17x) = 68$$34x = 68$$x = \frac{68}{34}$$x = 2$

Найдем длины сторон параллелограмма, подставив найденное значение $x$:$AB = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.$AD = 11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 22 см.