Номер 159, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, изображённые на рисунке 30 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 30

$AB = 12$

$BC = 8$

$AC = 18$

$AD = 27$

$DC = 12$

159. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, изображённые на рисунке 30 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 30

$AB = 12$

$BC = 8$

$AC = 18$

$CD = 12$

$AD = 27$

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, воспользуемся признаком подобия треугольников по трем сторонам. Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого.

Выпишем длины сторон каждого треугольника, указанные на рисунке:

Стороны треугольника $ABC$: $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, $AC = 18$ см.

Стороны треугольника $ADC$: $CD = 12$ см, $AC = 18$ см, $AD = 27$ см.

Чтобы проверить, пропорциональны ли стороны, сопоставим их, упорядочив по возрастанию длины для каждого треугольника:

Стороны $\triangle ABC$ в порядке возрастания: $8, 12, 18$.

Стороны $\triangle ADC$ в порядке возрастания: $12, 18, 27$.

Теперь составим отношения длин соответствующих сторон (наименьшей к наименьшей, средней к средней, наибольшей к наибольшей):

Отношение наименьших сторон: $\frac{BC}{CD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Отношение средних сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение наибольших сторон: $\frac{AC}{AD} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.

Так как все три отношения равны одному и тому же числу ($\frac{2}{3}$), то стороны треугольников пропорциональны:

$\frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{2}{3}$

Следовательно, по признаку подобия по трем сторонам, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ACD$.

Ответ: да, треугольники $ABC$ и $ADC$ подобны.