Номер 161, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена точка $D$.

Известно, что $AB = 9$ см, $\frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$. Найдите отрезок $BD$.

161. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D. Известно, что AB = 9 см, $\frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$. Найдите отрезок BD.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BDC$.

1. У этих треугольников угол $\angle C$ является общим.

2. Из условия задачи известно, что стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны:$ \frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3} $

По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны), следует, что $\triangle BDC \sim \triangle ABC$.

Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Соответствующими сторонами являются те, что лежат напротив равных углов. В данном случае, сторона $BD$ в $\triangle BDC$ лежит напротив общего угла $\angle C$, а сторона $AB$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle C$. Ошибка, это неверно. Углы $\angle CBD$ и $\angle CAB$ соответствуют друг другу, а также $\angle CDB$ и $\angle CBA$.

Правильное соотношение сторон, исходя из подобия $\triangle BDC \sim \triangle ABC$ (вершина B первого треугольника соответствует вершине A второго, D - B, C - C), будет:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} $

Используя данное в условии равенство, получаем:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{1}{3} $

Нам известно, что $AB = 9$ см. Подставим это значение в полученное соотношение:

$ \frac{BD}{9} = \frac{1}{3} $

Теперь найдем длину отрезка $BD$:

$ BD = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.