Номер 168, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где $AB \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, AB является меньшей боковой стороной и высотой трапеции, а CD — большей боковой стороной.

Пусть в трапецию вписана окружность. Обозначим точку касания на большей боковой стороне CD как M. По условию, точка M делит сторону CD на отрезки длиной 3 см и 12 см. Пусть $CM = 3$ см и $MD = 12$ см.

Тогда длина большей боковой стороны CD равна сумме длин этих отрезков:
$CD = CM + MD = 3 + 12 = 15$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины многоугольника до точек касания равны. Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно. Тогда:

• $CK = CM = 3$ см (касательные из точки C)
• $DL = MD = 12$ см (касательные из точки D)

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Мы получим прямоугольный треугольник CHD, где $\angle CHD = 90^\circ$.

Высота трапеции CH равна меньшей боковой стороне AB ($CH = AB$). Длина отрезка HD равна разности длин оснований:

$HD = AD - AH$. Поскольку ABCH — прямоугольник, $AH = BC$. Следовательно, $HD = AD - BC$.

В трапецию можно вписать окружность, поэтому ее высота равна диаметру вписанной окружности. Если $r$ — радиус окружности, то высота $AB = 2r$.

Так как трапеция прямоугольная, отрезки от вершин B и A до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу $r$. Таким образом, мы можем выразить длины оснований:

• Верхнее основание: $BC = BK + KC = r + 3$ см.
• Нижнее основание: $AD = AL + LD = r + 12$ см.

Теперь найдем длину катета HD в треугольнике CHD:

$HD = AD - BC = (r + 12) - (r + 3) = 12 - 3 = 9$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику CHD, где гипотенуза $CD = 15$ см, а катеты $CH = AB = 2r$ и $HD = 9$ см:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$15^2 = (2r)^2 + 9^2$

$225 = 4r^2 + 81$

$4r^2 = 225 - 81$

$4r^2 = 144$

$r^2 = 36$

$r = 6$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти длины всех сторон трапеции:

• Меньшая боковая сторона (высота): $AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.
• Верхнее основание: $BC = r + 3 = 6 + 3 = 9$ см.
• Нижнее основание: $AD = r + 12 = 6 + 12 = 18$ см.
• Большая боковая сторона: $CD = 15$ см.

Периметр трапеции P равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54$ см.

Также можно найти периметр, используя свойство описанного четырехугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 2(AB + CD)$.

$P = 2(12 + 15) = 2(27) = 54$ см.

Ответ: 54 см.