Номер 169, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобокой трапеции $AB = CD$.

Пусть точка $M$ — точка касания вписанной окружности с боковой стороной $CD$. По условию задачи, эта точка делит сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Пусть $CM = 8$ см и $MD = 18$ см.Тогда длина боковой стороны трапеции равна:$CD = CM + MD = 8 + 18 = 26$ см.

Основания трапеции

Для нахождения длин оснований воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть точки $L$ и $N$ — точки касания окружности с основаниями $BC$ и $AD$ соответственно.Из вершины $C$ проведены касательные $CM$ и $CL$, следовательно, $CL = CM = 8$ см.Из вершины $D$ проведены касательные $DM$ и $DN$, следовательно, $DN = DM = 18$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, вписанная окружность касается оснований в их серединах.Таким образом, длина верхнего (меньшего) основания $BC$ равна:$BC = 2 \cdot CL = 2 \cdot 8 = 16$ см.Длина нижнего (большего) основания $AD$ равна:$AD = 2 \cdot DN = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Для проверки можно использовать свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны.Сумма оснований: $AD + BC = 36 + 16 = 52$ см.Сумма боковых сторон: $AB + CD = 26 + 26 = 52$ см.Равенство $AD + BC = AB + CD$ выполняется, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: длины оснований трапеции равны 16 см и 36 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности можно найти двумя способами.

Способ 1: Через высоту трапеции.

Высота равнобокой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ — радиус.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = 26$ см.Длина катета $HD$ в равнобокой трапеции вычисляется как полуразность оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.По теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$h = \sqrt{576} = 24$ см.Радиус вписанной окружности равен половине высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Способ 2: Через свойства центра вписанной окружности.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Он лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $COD$.Так как $BC \parallel AD$, то сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами этих углов, поэтому в треугольнике $COD$ сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.Это означает, что третий угол треугольника $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $COD$ — прямоугольный.Отрезок $OM$ (где $M$ — точка касания на стороне $CD$) является радиусом окружности $r$ и одновременно высотой прямоугольного треугольника $COD$, проведенной к гипотенузе.Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$OM^2 = CM \cdot MD$$r^2 = 8 \cdot 18 = 144$$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 12 см.