Номер 166, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию:

• Меньшее основание $BC = 5$ см.
• Большее основание $AD = 13$ см.
• Трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$.
• Диагонали перпендикулярны боковым сторонам, например, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, что означает $∠ACD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $∠ACD = 90°$, то он является прямоугольным, а большее основание трапеции AD является его гипотенузой.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Высота CH является также и высотой трапеции. В равнобокой трапеции отрезок HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, вычисляется по формуле:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка AH, на который высота CH делит гипотенузу AD:
$AH = AD - HD = 13 - 4 = 9$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ высота CH, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу (AH и HD).
$CH^2 = AH \cdot HD$
Подставим найденные значения:
$CH^2 = 9 \cdot 4 = 36$
$CH = \sqrt{36} = 6$ см.
Следовательно, высота трапеции равна 6 см.
Ответ: 6 см.

Боковую сторону CD можно найти несколькими способами.
Способ 1: Из прямоугольного треугольника $CHD$.
По теореме Пифагора:
$CD^2 = CH^2 + HD^2$
$CD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$
$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Способ 2: Из прямоугольного треугольника $ACD$.
Катет прямоугольного треугольника (CD) есть среднее геометрическое между гипотенузой (AD) и проекцией этого катета на гипотенузу (HD).
$CD^2 = AD \cdot HD$
$CD^2 = 13 \cdot 4 = 52$
$CD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.
Боковая сторона трапеции равна $2\sqrt{13}$ см.
Ответ: $2\sqrt{13}$ см.