Номер 160, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны. Найдите отрезки $CD$ и $CE$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см.

160. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны. Найдите отрезки $CD$ и $CE$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см.

Докажите, что треугольники ABC и EDC подобны

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EDC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle ACB = \angle ECD$.

2. По условию, через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, которая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. Это означает, что точки $A, B, E, D$ лежат на одной окружности, а четырехугольник $ABED$ является вписанным в эту окружность.

По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BAE + \angle BDE = 180^\circ$. Углы $\angle CDE$ и $\angle BDE$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle CDE + \angle BDE = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CDE = \angle BAE$. Так как $\angle BAE$ это угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$, то $\angle CDE = \angle BAC$.

Итак, мы имеем два угла одного треугольника, которые соответственно равны двум углам другого треугольника:

• $\angle ACB = \angle ECD$ (общий угол)
• $\angle BAC = \angle CDE$ (по свойству вписанного четырехугольника)

Следовательно, треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Важно правильно определить соответствие вершин: углу $C$ в $\triangle ABC$ соответствует угол $C$ в $\triangle EDC$, углу $A$ соответствует угол $E$ (так как $\angle CED = \angle CBA$ по аналогии), а углу $B$ соответствует угол $D$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle EDC$.

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $EDC$ доказано.

Найдите отрезки CD и CE

Из доказанного подобия $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответствие вершин: $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow C$.

Запишем отношение соответственных сторон:

$\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{DC} = \frac{AB}{ED}$

Подставим известные из условия значения: $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см (длина отрезка $ED$ равна длине отрезка $DE$).

$\frac{5}{CE} = \frac{6}{CD} = \frac{8}{2}$

Из правой части пропорции находим коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большего треугольника к меньшему):

$k = \frac{8}{2} = 4$

Теперь, используя этот коэффициент, можем найти длины искомых отрезков $CD$ и $CE$:

1. Из равенства $\frac{6}{CD} = 4$ находим $CD$:

$CD = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

2. Из равенства $\frac{5}{CE} = 4$ находим $CE$:

$CE = \frac{5}{4} = 1.25$ см.

Ответ: $CD = 1.5$ см, $CE = 1.25$ см.