Номер 25, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Периметр полученного параллелограмма равен 24 см. Найдите боковую сторону треугольника.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Периметр полученного параллелограмма равен 24 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$.

Через точку $D$ проведены прямые $DF$ и $DE$, где $F$ лежит на $AB$, а $E$ лежит на $BC$, причем $DF \parallel BC$ и $DE \parallel AB$.

По построению четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Периметр этого параллелограмма равен $P_{BFDE} = 2(BF + DF)$.

По условию задачи, $P_{BFDE} = 24$ см. Отсюда следует, что $2(BF + DF) = 24$, или $BF + DF = 12$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $AFD$. Угол $\angle FAD$ равен углу $\angle BAC$. Поскольку $DF \parallel BC$, то $\angle FDA = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AC$.

Таким образом, в треугольнике $AFD$ имеем $\angle FAD = \angle FDA$. Это означает, что треугольник $AFD$ — равнобедренный, и, следовательно, $AF = DF$.

Боковая сторона треугольника $ABC$ равна $AB = AF + FB$. Заменив $AF$ на равный ему отрезок $DF$, получаем: $AB = DF + FB$.

Как мы нашли ранее, $BF + DF = 12$ см. Следовательно, длина боковой стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.