Номер 41, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. На рисунке 50 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 50

a

A B C D $72^\circ$ $\alpha$

б

A B C D $116^\circ$ $\alpha$

в

A B C D $54^\circ$ $\alpha$

41. На рисунке 50 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 50

а

$72^\circ$

$\alpha$

б

$116^\circ$

$\alpha$

в

$54^\circ$

$\alpha$

a

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $DC$. Углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ — это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, эти углы равны.

Из условия задачи нам дан угол $\angle ABD = 72^\circ$.

Таким образом, искомый угол $\alpha = \angle BDC = \angle ABD = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$

б

По условию, $ABCD$ — ромб. Внешний угол при вершине $A$ равен $116^\circ$. Внутренний угол ромба $\angle DAB$ и внешний угол при той же вершине являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle DAB = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$.

Отсюда находим угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $BD$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

Следовательно, искомый угол $\alpha = \angle CBD = \frac{1}{2}\angle ABC$.

$\alpha = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$

Ответ: $58^\circ$

в

По условию, $ABCD$ — ромб. Противоположные стороны ромба параллельны, значит $BC \parallel AD$.

Диагональ $AC$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Углы $\angle CAD$ (равный $\alpha$) и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, они равны.

$\alpha = \angle CAD = \angle BCA$

Из условия известно, что $\angle BCA = 54^\circ$.

Таким образом, $\alpha = 54^\circ$.

Проверка другим способом: В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = 54^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам. Отсюда следует, что $\angle CAD = \angle BAC = 54^\circ$, что подтверждает наш ответ.

Ответ: $54^\circ$