Номер 44, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Угол между высотами $DK$ и $DE$, проведёнными из вершины $D$ ромба $ABCD$, равен $140^{\circ}$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $DK$ и $DE$, проведёнными из вершины $D$ ромба $ABCD$, равен $140^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $D$ проведены высоты $DK$ и $DE$. По определению высоты параллелограмма (и ромба), они проводятся к прямым, содержащим стороны, не проходящие через данную вершину. Таким образом, $DK$ и $DE$ — это перпендикуляры, опущенные из точки $D$ на прямые $AB$ и $BC$ соответственно. То есть $DK \perp AB$ и $DE \perp BC$. По условию, угол между этими высотами $\angle KDE = 140^\circ$.

Для нахождения углов ромба рассмотрим два возможных случая, зависящих от того, являются ли углы при вершинах $A$ и $C$ острыми или тупыми.

Случай 1: Углы $\angle A$ и $\angle C$ — острые.В этом случае основания высот, проведенных из вершины $D$ к прямым $AB$ и $BC$, будут лежать на самих сторонах $AB$ и $BC$. Рассмотрим четырехугольник $BKDE$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы $\angle DKB$ и $\angle DEB$ прямые и равны $90^\circ$, так как $DK$ и $DE$ — высоты. Угол $\angle B$ является углом ромба, смежным с углом $\angle A$, поэтому он тупой. Сумма углов четырехугольника $BKDE$ равна:$\angle B + \angle DKB + \angle KDE + \angle DEB = 360^\circ$$\angle B + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$\angle B + 320^\circ = 360^\circ$$\angle B = 40^\circ$Полученное значение угла $\angle B$ является острым, что противоречит нашему предположению о том, что угол $\angle B$ — тупой. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Углы $\angle A$ и $\angle C$ — тупые.В этом случае углы $\angle B$ и $\angle D$ — острые. Поскольку угол $\angle A$ тупой, основание высоты $K$, проведенной из $D$ к прямой $AB$, будет лежать на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Аналогично, так как угол $\angle C$ тупой, основание высоты $E$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAK$. Внешний угол при вершине $A$ ромба, $\angle DAK$, равен $180^\circ - \angle DAB$. Тогда угол $\angle ADK$ равен:$\angle ADK = 90^\circ - \angle DAK = 90^\circ - (180^\circ - \angle DAB) = \angle DAB - 90^\circ$.Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle DCE$ угол $\angle CDE$ равен:$\angle CDE = \angle DCB - 90^\circ$.Поскольку в ромбе $\angle DAB = \angle DCB$, то $\angle ADK = \angle CDE$.Угол между высотами $\angle KDE$ складывается из трех углов: $\angle ADK$, угла ромба $\angle ADC$ и угла $\angle CDE$.$\angle KDE = \angle ADK + \angle ADC + \angle CDE$$\angle KDE = (\angle DAB - 90^\circ) + \angle ADC + (\angle DAB - 90^\circ)$.Так как $\angle ADC$ и $\angle DAB$ — смежные углы ромба, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB$. Подставим это в выражение:$140^\circ = (\angle DAB - 90^\circ) + (180^\circ - \angle DAB) + (\angle DAB - 90^\circ)$$140^\circ = \angle DAB - 90^\circ + 180^\circ - \angle DAB + \angle DAB - 90^\circ$$140^\circ = \angle DAB$.Таким образом, тупые углы ромба $\angle A = \angle C = 140^\circ$.Острые углы ромба $\angle B = \angle D = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.Это соответствует нашему предположению.

Теперь найдем углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.Рассмотрим сторону $AD$.Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$ равен половине угла $\angle DAB$:$\angle DAC = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.Угол между стороной $AD$ и диагональю $BD$ равен половине угла $\angle ADC$:$\angle ADB = \frac{\angle ADC}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$ и $70^\circ$.