Номер 50, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Две стороны квадрата $CKPF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $P$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите катет треугольника, если $CK = 4$ см.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Две стороны квадрата $CKPF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $P$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите катет треугольника, если $CK = 4$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным ($AC = BC$), его углы при гипотенузе равны 45 градусам:
$∠A = ∠B = (180° - 90°) / 2 = 45°$.

Согласно условию, квадрат $CKPF$ расположен так, что его вершина $C$ совпадает с вершиной прямого угла треугольника $ABC$. Сторона $CF$ лежит на катете $AC$, а сторона $CK$ – на катете $BC$. Вершина $P$ находится на гипотенузе $AB$.

Длина стороны квадрата дана: $CK = 4$ см. Следовательно, все стороны квадрата равны 4 см:
$CK = KP = PF = FC = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $AFP$.
Вершина $F$ квадрата лежит на катете $AC$. Сторона квадрата $PF$ перпендикулярна стороне $FC$. Так как отрезок $FC$ является частью катета $AC$, то сторона $PF$ перпендикулярна катету $AC$. Это означает, что угол $∠PFA = 90°$, и треугольник $AFP$ — прямоугольный.

В треугольнике $AFP$ известны два угла: $∠A = 45°$ и $∠PFA = 90°$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол:
$∠APF = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Так как в треугольнике $AFP$ два угла равны ($∠A = ∠APF = 45°$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AF = PF$.

Длина стороны $PF$ квадрата равна 4 см, следовательно, $AF = 4$ см.

Катет $AC$ треугольника $ABC$ состоит из двух отрезков: $AF$ и $FC$. Его длина равна их сумме:
$AC = AF + FC$.
Подставим известные значения:
$AC = 4$ см $+ 4$ см $= 8$ см.

Ответ: 8 см.