Номер 53, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Постройте квадрат по его диагонали.

53. Постройте квадрат по его диагонали.

Для построения квадрата по заданной диагонали с помощью циркуля и линейки необходимо использовать свойства диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Анализ

Пусть дан отрезок $AC$, который является диагональю будущего квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата пересекаются в его центре, обозначим эту точку как $O$. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей. Вторая диагональ $BD$ должна быть равна диагонали $AC$, проходить через точку $O$ и быть перпендикулярной $AC$. Из этого следует, что отрезки $OA, OB, OC, OD$ должны быть равны между собой.

Построение

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начертим заданный отрезок $AC$, который будет служить первой диагональю квадрата.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведём две дуги окружности одинакового радиуса, который должен быть больше половины длины отрезка $AC$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведём прямую. Эта прямая будет являться серединным перпендикуляром к $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $AC$ как $O$. Точка $O$ — центр будущего квадрата.
4. Из точки $O$ проведём окружность с радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OC$).
5. Эта окружность пересечёт серединный перпендикуляр в двух точках. Обозначим их $B$ и $D$. Эти точки будут двумя другими вершинами квадрата.
6. Последовательно соединим отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырёхугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

• Прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$, следовательно, $AC \perp BD$ и $AO = OC$.
• Точки $B$ и $D$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$, следовательно, $OB = OD = OA$.
• Из этого следует, что диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC = AO + OC = 2OA$, $BD = BO + OD = 2OA$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

Так как у четырёхугольника $ABCD$ диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат.

Ответ: Искомый квадрат строится путем нахождения середины данной диагонали $AC$, проведения через неё перпендикуляра и откладывания на нём от середины в обе стороны отрезков, равных половине диагонали $AC$. Полученные концы отрезков вместе с концами исходной диагонали будут вершинами квадрата.