Номер 51, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 5 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу треугольника.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 5 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB$. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

По условию, в треугольник вписан квадрат со стороной 5 см. Обозначим его $DEFG$. Две его вершины, $F$ и $G$, лежат на гипотенузе $AB$, а две другие, $E$ и $D$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Из такого расположения следует, что сторона квадрата $FG$ лежит на отрезке $AB$, а стороны $EF$ и $DG$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $AFE$, образованный вершиной $A$, катетом $AC$ и стороной квадрата $EF$. В этом треугольнике:

• $\angle A = 45^\circ$ (угол исходного треугольника).
• $\angle AFE = 90^\circ$ (так как $EF \perp AB$).
• Следовательно, $\angle AEF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку у треугольника $AFE$ два угла равны ($45^\circ$), он является равнобедренным. Значит, его катеты $AF$ и $EF$ равны. Длина $EF$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Следовательно, $AF = 5$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $BDG$, образованный вершиной $B$, катетом $BC$ и стороной квадрата $DG$. В этом треугольнике:

• $\angle B = 45^\circ$ (угол исходного треугольника).
• $\angle BGD = 90^\circ$ (так как $DG \perp AB$).
• Следовательно, $\angle BDG = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Треугольник $BDG$ также является равнобедренным, и его катеты $BG$ и $DG$ равны. Длина $DG$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Следовательно, $BG = 5$ см.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AF$, $FG$ и $GB$. Ее общая длина равна сумме длин этих отрезков:

$AB = AF + FG + GB$

Длина отрезка $FG$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Подставив все известные значения, получим:

$AB = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Ответ: 15 см.