Номер 58, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Диагонали четырёхугольника равны 3 см и 7 см, а угол между ними — $37^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 3 см и 7 см, а угол между ними — $37^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть дан произвольный четырёхугольник. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон данного, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам, а углы параллелограмма равны углам между диагоналями.

Стороны четырёхугольника

По условию, диагонали исходного четырёхугольника равны $d_1 = 3$ см и $d_2 = 7$ см. Две противоположные стороны искомого параллелограмма равны половине первой диагонали, а две другие — половине второй.
Первая пара сторон: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.
Вторая пара сторон: $b = \frac{d_2}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.
Таким образом, искомый четырёхугольник имеет две стороны длиной 1.5 см и две стороны длиной 3.5 см.
Ответ: две стороны равны 1.5 см, две другие стороны равны 3.5 см.

Углы четырёхугольника

Углы искомого параллелограмма равны углам, которые образуются при пересечении диагоналей исходного четырёхугольника. По условию, один из этих углов равен $37°$. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $37°$, а смежные с ними углы равны $180° - 37° = 143°$.
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то два его угла равны $37°$, а два других — $143°$.
Ответ: два угла равны $37°$, два других угла равны $143°$.