Номер 62, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $CD : DA = CE : EB = 1 : 3$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 24$ см.

62. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $CD : DA = CE : EB = 1 : 3$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 24$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DEC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников ($\angle ACB = \angle DCE$).

2. По условию задачи даны отношения: $CD : DA = 1 : 3$ и $CE : EB = 1 : 3$.

Найдем отношение длин сторон, прилежащих к общему углу $\angle C$.

Из отношения $CD : DA = 1 : 3$ следует, что отрезок $AC$ можно представить как сумму $CD + DA = 1$ часть $+ 3$ части $= 4$ части. Таким образом, отношение длины отрезка $CD$ к длине стороны $AC$ равно:

$\frac{CD}{AC} = \frac{CD}{CD + DA} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

Аналогично, из отношения $CE : EB = 1 : 3$ следует, что сторона $BC$ состоит из $1+3=4$ частей. Отношение длины отрезка $CE$ к длине стороны $BC$ равно:

$\frac{CE}{BC} = \frac{CE}{CE + EB} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

3. Поскольку две стороны одного треугольника ($CD$ и $CE$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($AC$ и $BC$) с одинаковым коэффициентом пропорциональности ($\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{4}$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle C$ — общий), то треугольники $DEC$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия, который в данном случае равен $\frac{1}{4}$.

$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{4}$

Нам известна длина стороны $AB = 24$ см. Найдем длину отрезка $DE$:

$\frac{DE}{24} = \frac{1}{4}$

$DE = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см.

Ответ: 6 см.