Номер 59, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, а диагонали — равны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, а диагонали — равны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ как точки $K, L, M, N$ соответственно.Четырёхугольник, о котором идет речь в задаче, — это четырёхугольник $KLMN$, образованный серединами сторон четырёхугольника $ABCD$.По условию, диагонали четырёхугольника $KLMN$ равны.

Сначала определим общий вид четырёхугольника, образованного серединами сторон другого четырёхугольника. Согласно теореме Вариньона, такой четырёхугольник всегда является параллелограммом. Докажем это утверждение.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$:$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. По свойству средней линии:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$.Поскольку в четырёхугольнике $KLMN$ две противоположные стороны ($KL$ и $MN$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма, четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Теперь воспользуемся второй частью условия задачи: диагонали этого четырёхугольника равны.Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.Таким образом, четырёхугольник $KLMN$ — это прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.