Номер 66, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол $24^\circ$. Найдите углы трапеции.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол $24^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Углы при большем основании AD являются острыми, а при меньшем основании BC — тупыми. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведем высоту BH из вершины тупого угла B на большее основание AD. В результате мы получаем прямоугольный треугольник ABH, в котором катеты — это высота BH и отрезок AH, а гипотенуза — боковая сторона AB. Угол $\angle BHA$ прямой и равен $90^\circ$.

Согласно условию задачи, угол между высотой BH и боковой стороной AB составляет $24^\circ$. Следовательно, $\angle ABH = 24^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$. Используя это свойство для треугольника ABH, найдем угол $\angle BAH$, который является острым углом трапеции:

$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH$

$\angle BAH = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$

Итак, острые углы трапеции равны $66^\circ$. То есть $\angle A = \angle D = 66^\circ$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Найдем тупой угол $\angle B$, прилежащий к стороне AB:

$\angle B = 180^\circ - \angle A$

$\angle B = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$

Поскольку трапеция равнобокая, второй тупой угол $\angle C$ равен углу $\angle B$. Таким образом, $\angle C = 114^\circ$.

В результате мы нашли все углы трапеции.

Ответ: углы трапеции равны $66^\circ, 114^\circ, 114^\circ, 66^\circ$.