Номер 60, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником. Докажите, что диагонали данного четырёх-угольника перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно: $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, и $N$ — середина $DA$. По условию, четырёхугольник $KLMN$, образованный этими точками, является прямоугольником.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и равен её половине:$KL \parallel AC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен диагонали $BD$:$KN \parallel BD$.

По условию задачи, четырёхугольник $KLMN$ является прямоугольником. Это означает, что его смежные стороны перпендикулярны, в частности $KL \perp KN$. Угол между прямыми $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$.

Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые им параллельны. Следовательно, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу между сторонами $KL$ и $KN$.

Поскольку угол между $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$, то и угол между диагоналями $AC$ и $BD$ также равен $90^\circ$. Это означает, что диагонали данного четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны.