Номер 52, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $E$ такую, что луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Найдите сторону квадрата, если $BE = 6$ см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $E$ такую, что луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Найдите сторону квадрата, если $BE = 6$ см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его углы равны $90^\circ$. В частности, угол $\angle ABC = 90^\circ$.

По условию задачи, луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Это означает, что $\angle ABE : \angle EBC = 1:2$.

Пусть $\angle ABE = \alpha$, тогда $\angle EBC = 2\alpha$. Сумма этих углов составляет $\angle ABC$:
$\angle ABE + \angle EBC = \angle ABC$
$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$
Следовательно, $\angle ABE = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Поскольку точка $E$ находится на продолжении стороны $AD$ за точку $D$, то прямая $AE$ перпендикулярна стороне $AB$ (так как $AD \perp AB$ в квадрате). Таким образом, угол $\angle BAE = 90^\circ$, и треугольник $ABE$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ известны гипотенуза $BE = 6$ см и острый угол $\angle ABE = 30^\circ$. Катет $AB$ является стороной квадрата, которую необходимо найти. Этот катет прилежит к известному углу.

Для нахождения катета $AB$ воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle ABE) = \frac{AB}{BE}$

Подставим известные значения в формулу:
$\cos(30^\circ) = \frac{AB}{6}$

Зная, что значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{6}$

Из этого уравнения находим $AB$:
$AB = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.