Номер 48, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

48. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

Пусть нам дан ромб, обозначим его ABCD. По определению ромба, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

По условию задачи, диагонали этого ромба равны. Обозначим диагонали как AC и BD, тогда $AC = BD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются внутри ромба: $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$. Сравним эти треугольники:

• Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.
• Стороны $BC$ и $AD$ равны, так как это стороны одного и того же ромба ($BC = AD$).
• Стороны $AC$ и $BD$ равны по условию ($AC = BD$).

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В данном случае нас интересуют углы $\angle ABC$ и $\angle BAD$. Следовательно, $\angle ABC = \angle BAD$.

Ромб является частным случаем параллелограмма. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ это свойство записывается как:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$.

Поскольку мы уже доказали, что $\angle ABC = \angle BAD$, мы можем заменить в этом уравнении $\angle ABC$ на $\angle BAD$:
$\angle BAD + \angle BAD = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ$
$\angle BAD = 90^\circ$.

Итак, мы имеем ромб, у которого один из углов прямой. Ромб с прямым углом по определению является квадратом (так как у ромба противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$, то наличие одного прямого угла гарантирует, что все остальные углы также будут прямыми).

Следовательно, ромб с равными диагоналями является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.