Номер 47, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр отрезка $AK$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Найдите сторону $AB$, если периметр четырёхугольника $ABKP$ равен 36 см.

47. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр отрезка $AK$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Найдите сторону $AB$, если периметр четырёхугольника $ABKP$ равен $36$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, $\angle BAK = \angle DAK$.Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то $AD \parallel BC$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Поэтому накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны.Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), он является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BK$.

Далее, по условию, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AK$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Таким образом, $PA = PK$. Это означает, что треугольник $APK$ также является равнобедренным с основанием $AK$.

Рассмотрим углы треугольника $APK$. Угол $\angle PAK$ является частью угла $\angle DAK$, а так как точка $P$ лежит на стороне $AD$, то $\angle PAK = \angle DAK$. Мы уже знаем, что $\angle DAK = \angle BAK$. Следовательно, $\angle PAK = \angle BAK$. В равнобедренном треугольнике $APK$ углы при основании $AK$ равны, поэтому $\angle PKA = \angle PAK$.Таким образом, мы установили следующую цепочку равенств углов: $\angle PKA = \angle PAK = \angle BAK = \angle BKA$.

Теперь сравним треугольники $ABK$ и $APK$. У них общая сторона $AK$. Углы, прилежащие к этой стороне в обоих треугольниках, соответственно равны: $\angle BAK = \angle PAK$ и $\angle BKA = \angle PKA$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABK \cong \triangle APK$.Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = PA$.

Периметр четырёхугольника $ABKP$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABKP} = AB + BK + KP + PA$.По условию, периметр равен 36 см. Используя ранее найденные равенства $BK = AB$ и $KP = PA$, подставим их в формулу периметра:$P_{ABKP} = AB + (AB) + (PA) + PA = 2AB + 2PA$.

Получаем уравнение: $2AB + 2PA = 36$, что можно упростить до $AB + PA = 18$.

Наконец, используем ключевое равенство $AB = PA$, полученное из конгруэнтности треугольников. Подставим его в уравнение для периметра:$AB + AB = 18$$2AB = 18$$AB = 9$ см.

Ответ: 9 см.