Номер 262, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Задача состоит в том, чтобы провести прямую через одну из его вершин (например, вершину $B$) так, чтобы она разделила треугольник на два меньших треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

Такая прямая пересечет противолежащую сторону $AC$ в некоторой точке $D$. В результате исходный треугольник $ABC$ будет разделен на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Площадь треугольника определяется формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $AC$. Эта высота является общей для обоих полученных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ с основанием $AD$ равна: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$.

Площадь треугольника $\triangle CBD$ с основанием $CD$ равна: $S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH$.

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH} $$

Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $BH$, получим: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{AD}{CD} $$

Это означает, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований.

По условию задачи, отношение площадей должно быть $3:1$. Следовательно, отношение отрезков, на которые точка $D$ делит сторону $AC$, также должно быть $3:1$. То есть: $$ \frac{AD}{CD} = \frac{3}{1} \quad \text{или} \quad \frac{AD}{CD} = \frac{1}{3} $$

Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить следующее построение:
1. Выбрать любую вершину треугольника, например $B$.
2. Разделить противолежащую ей сторону $AC$ на четыре равные части.
3. Найти на стороне $AC$ точку $D$, которая делит ее в отношении $3:1$. Такая точка будет находиться на расстоянии $\frac{1}{4}$ длины стороны от одного из концов ($C$ или $A$) и $\frac{3}{4}$ от другого.
4. Провести прямую через выбранную вершину $B$ и найденную точку $D$.

Эта прямая разделит исходный треугольник на два треугольника, площади которых будут относиться как $3:1$.

Ответ: Необходимо провести прямую через одну из вершин треугольника и точку на противолежащей стороне, которая делит эту сторону в отношении $3:1$.