Номер 261, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 7$. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$ треугольника.

261. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 7$. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$ треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ угла $A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Эта биссектриса разбивает исходный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Применим эту формулу для нахождения площадей треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ выражается как:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

Площадь треугольника $\triangle ACD$ выражается как:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то она делит этот угол на два равных угла, то есть $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе дроби (это $\frac{1}{2}$, длина биссектрисы $AD$ и синус равных углов):

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

По условию задачи дано, что площади этих треугольников относятся как $4 : 7$. Это означает:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{4}{7}$

Сопоставляя два полученных равенства, мы приходим к выводу, что отношение сторон $AB$ и $AC$ равно отношению площадей:

$\frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$

Таким образом, отношение сторон $AB$ и $AC$ составляет $4:7$.

Ответ: $4:7$