Номер 266, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 14 см, а боковая сторона равна 10 см и образует с меньшим основанием угол $30^\circ$.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 14 см, а боковая сторона равна 10 см и образует с меньшим основанием угол $30^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 8$ см и $b = 14$ см. Боковая сторона равна $l = 10$ см. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $BC$ — меньшее основание ($BC = 8$ см), а $AD$ — большее основание ($AD = 14$ см). Пусть боковая сторона $AB$ равна 10 см. Угол, который боковая сторона $AB$ образует с меньшим основанием $BC$, — это угол $\angle ABC$. Однако в стандартной трапеции этот угол является тупым. Фраза "образует с меньшим основанием угол 30°" обычно интерпретируется как равенство 30° острого угла, который эта боковая сторона образует с основанием.

Поскольку основания $BC$ и $AD$ параллельны, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна 180°. То есть, $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$.Острый угол при боковой стороне $AB$ будет с большим основанием $AD$ (угол $\angle BAD$), а тупой — с меньшим основанием $BC$ (угол $\angle ABC$). Таким образом, если угол с большим основанием равен $30^\circ$, то угол с меньшим основанием будет $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Условие "образует с меньшим основанием угол 30°" можно понять как то, что острый угол между прямой, содержащей боковую сторону, и прямой, содержащей меньшее основание, равен 30°. Этот угол будет равен углу при большем основании.

Итак, примем, что угол при большем основании равен $30^\circ$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к большему основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $ABH$.

В треугольнике $ABH$:

• гипотенуза $AB = 10$ см;
• угол $\angle BAH = 30^\circ$;
• катет $BH$ является высотой трапеции $h$.

Высоту $h$ можно найти как катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$:$h = BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$$h = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Теперь, когда известна высота, мы можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{8 + 14}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$ см².

Ответ: $55$ см².