Номер 272, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 9 см, а её боковые стороны относятся как 4 : 5. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 9 см, а её боковые стороны относятся как $4:5$. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция, у которой $a$ и $b$ — длины оснований ($b > a$), $h$ — высота (которая также является одной из боковых сторон), а $c$ — вторая, наклонная боковая сторона.

Из условия задачи имеем следующие данные:

1. Разность оснований: $b - a = 9$ см.
2. Отношение боковых сторон: $h : c = 4 : 5$.
3. Длина меньшей диагонали: $d_{min} = 13$ см.

Проведем из вершины, соединяющей меньшее основание и наклонную сторону, высоту к большему основанию. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является наклонная сторона $c$, а катетами — высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности оснований $b - a$.

Согласно теореме Пифагора для этого треугольника:
$c^2 = h^2 + (b - a)^2$

Из соотношения $h : c = 4 : 5$ введем коэффициент пропорциональности $k$, где $k > 0$:
$h = 4k$
$c = 5k$

Подставим эти выражения и известную разность оснований в уравнение теоремы Пифагора:
$(5k)^2 = (4k)^2 + 9^2$
$25k^2 = 16k^2 + 81$
$25k^2 - 16k^2 = 81$
$9k^2 = 81$
$k^2 = 9$
$k = 3$

Теперь мы можем найти точные длины боковых сторон:
Высота $h = 4k = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Наклонная сторона $c = 5k = 5 \cdot 3 = 15$ см.

В прямоугольной трапеции диагонали являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Квадраты их длин можно выразить через высоту и основания:
$d_1^2 = h^2 + a^2$
$d_2^2 = h^2 + b^2$

Поскольку по определению $b > a$, то $b^2 > a^2$, и, следовательно, $d_2^2 > d_1^2$. Это означает, что меньшая диагональ ($d_{min}$) та, которая в своей формуле использует меньшее основание $a$.
$d_{min}^2 = h^2 + a^2$

Подставим известные значения $d_{min} = 13$ см и $h = 12$ см в это уравнение:
$13^2 = 12^2 + a^2$
$169 = 144 + a^2$
$a^2 = 169 - 144$
$a^2 = 25$
$a = 5$ см (длина не может быть отрицательной).

Таким образом, длина меньшего основания равна 5 см. Теперь найдем длину большего основания:
$b = a + 9 = 5 + 9 = 14$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле, использующей полусумму оснований и высоту:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения $a=5$ см, $b=14$ см и $h=12$ см:
$S = \frac{5 + 14}{2} \cdot 12$
$S = \frac{19}{2} \cdot 12$
$S = 19 \cdot 6 = 114$ см².

Ответ: 114 см².