Номер 277, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Площадь равнобокой трапеции равна 144 $\text{см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

277. Площадь равнобокой трапеции равна $144\text{ см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, площадь которой $S = 144 \text{ см}^2$. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а высоту — $h$. Согласно условию, диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Для решения этой задачи ключевым является свойство равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны: её высота равна её средней линии. Докажем это.

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Проведём через эту точку высоту трапеции. Эта высота разделится точкой O на два отрезка, которые являются высотами двух треугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции.

Поскольку трапеция равнобокая, треугольники, прилежащие к основаниям, являются равнобедренными. А так как диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае гипотенузами являются основания трапеции $a$ и $b$.

Таким образом, один отрезок высоты трапеции (высота треугольника с основанием $a$) равен $\frac{a}{2}$, а второй отрезок (высота треугольника с основанием $b$) равен $\frac{b}{2}$.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме длин этих двух отрезков: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Выражение $\frac{a+b}{2}$ — это формула средней линии трапеции ($m$). Следовательно, мы доказали, что для такой трапеции высота равна средней линии: $h = m$.

Теперь воспользуемся общей формулой площади трапеции: $S = m \cdot h$

Заменив в этой формуле среднюю линию $m$ на равную ей высоту $h$, получим: $S = h \cdot h = h^2$

Из условия задачи мы знаем, что $S = 144 \text{ см}^2$. Подставим это значение в полученное уравнение: $h^2 = 144$

Отсюда находим высоту $h$: $h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.