Номер 275, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 36 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $1 : 4$. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 36 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $BC$ и $AD$. Следовательно, $AB$ является высотой трапеции.

По условию, $AB = h = 36$ см.

В трапецию вписана окружность. Это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: $BC + AD = AB + CD$

Поскольку трапеция прямоугольная, её высота равна диаметру вписанной окружности: $h = d = 2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
$r = h / 2 = 36 / 2 = 18$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания окружности на большей боковой стороне $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, отношение которых равно $1 : 4$. Пусть длины этих отрезков равны $x$ и $4x$. $CK = x$, $KD = 4x$.
Тогда вся боковая сторона $CD = CK + KD = x + 4x = 5x$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть точки касания на основаниях $BC$ и $AD$ — это $M$ и $N$ соответственно. Тогда $CM = CK = x$ и $DN = DK = 4x$.

Для прямоугольной трапеции отрезки оснований от вершин прямых углов до точек касания равны радиусу вписанной окружности. $BM = r = 18$ см.
$AN = r = 18$ см.

Теперь мы можем выразить длины оснований через $x$:
$BC = BM + MC = 18 + x$
$AD = AN + ND = 18 + 4x$

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$.
Катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 36$ см.
Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (18 + 4x) - (18 + x) = 3x$.
Гипотенуза $CD = 5x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$
$36^2 + (3x)^2 = (5x)^2$
$1296 + 9x^2 = 25x^2$
$16x^2 = 1296$
$x^2 = 1296 / 16$
$x^2 = 81$
$x = 9$ см (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем сумму оснований. Для этого можно найти длину стороны $CD$: $CD = 5x = 5 \cdot 9 = 45$ см.
Используя свойство вписанной окружности: $BC + AD = AB + CD = 36 + 45 = 81$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$
$S = \frac{81}{2} \cdot 36 = 81 \cdot 18 = 1458$ см².

Ответ: 1458 см².