Номер 259, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $98 \text{ см}^2$. Точка $M$ делит его сторону $AB$ в отношении $4 : 3$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ACM$ и $BCM$.

259. Площадь треугольника ABC равна $98 \text{ см}^2$. Точка M делит его сторону AB в отношении $4:3$, считая от точки B. Найдите площади треугольников ACM и BCM.

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, которая по условию равна 98 см². Точка $M$ лежит на стороне $AB$. Отрезок $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $ACM$ и $BCM$.

У треугольников $ACM$ и $BCM$ общая вершина $C$, а их основания $AM$ и $BM$ лежат на одной прямой $AB$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Для наших треугольников: $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$ $S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h$

Найдем отношение площадей этих треугольников. Оно будет равно отношению их оснований, так как высота $h$ у них общая: $\frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h} = \frac{BM}{AM}$

По условию задачи, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:3$, считая от точки $B$. Это означает, что $BM : AM = 4 : 3$. Соответственно, и отношение площадей будет таким же: $S_{BCM} : S_{ACM} = 4 : 3$.

Сумма площадей треугольников $ACM$ и $BCM$ равна площади исходного треугольника $ABC$: $S_{ACM} + S_{BCM} = S_{ABC} = 98$ см².

Таким образом, общую площадь в 98 см² нужно разделить в отношении $3:4$. Всего получается $3 + 4 = 7$ равных частей. Величина одной части составляет: $98 / 7 = 14$ см².

Площадь треугольника ACM
Площадь $S_{ACM}$ соответствует 3 частям, так как ее основание $AM$ составляет 3 части. $S_{ACM} = 3 \cdot 14 = 42$ см².
Ответ: 42 см².

Площадь треугольника BCM
Площадь $S_{BCM}$ соответствует 4 частям, так как ее основание $BM$ составляет 4 части. $S_{BCM} = 4 \cdot 14 = 56$ см².
Ответ: 56 см².