Страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $DE$ и $DF$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $D$.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $DE$ и $DF$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $D$.

Пусть O — центр окружности. Обозначим середины хорд DE и DF как M и N соответственно. Требуется найти расстояние от центра O до точки D, то есть длину отрезка OD.

Рассмотрим четырехугольник OMDN. По свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен ей. Таким образом, $OM \perp DE$ и $ON \perp DF$. Это означает, что углы $\angle OMD$ и $\angle OND$ являются прямыми: $\angle OMD = 90^\circ$ и $\angle OND = 90^\circ$.

Из условия задачи известно, что хорды DE и DF перпендикулярны, то есть $\angle EDF = 90^\circ$. Этот угол также является углом $\angle MDN$ в четырехугольнике OMDN.

Таким образом, в четырехугольнике OMDN три угла равны $90^\circ$: $\angle MDN$, $\angle OMD$ и $\angle OND$. Так как сумма углов в любом четырехугольнике составляет $360^\circ$, то и четвертый угол $\angle MON$ должен быть равен $360^\circ - 3 \times 90^\circ = 90^\circ$.

Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, OMDN — прямоугольник.

Одним из ключевых свойств прямоугольника является равенство его диагоналей. Диагоналями в прямоугольнике OMDN являются отрезки OD и MN. Значит, $OD = MN$.

По условию, длина отрезка, соединяющего середины хорд (MN), равна 6 см. Следовательно, длина отрезка OD также равна 6 см.

Ответ: 6 см.

41. На рисунке 91 четырёхугольник ABCD — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 91

a

б

в

41. На рисунке 91 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 91

а

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $\alpha$, $78^\circ$.

б

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $48^\circ$, $\alpha$.

в

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $34^\circ$, $\alpha$.

а)

Поскольку $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB || DC$. Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $∠ABD = ∠BDC = 78°$.

Также у ромба все стороны равны, в частности $AB = AD$. Таким образом, треугольник $ABD$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ADB = ∠ABD = 78°$.

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180°$. Угол $α$ — это угол $∠DAB$.

$α = ∠DAB = 180° - (∠ABD + ∠ADB) = 180° - (78° + 78°) = 180° - 156° = 24°$.

Ответ: $α = 24°$.

б)

Поскольку $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны: $AB || DC$.

Угол $α$ является внешним углом при вершине $C$ ромба и смежен с углом $∠BCD$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому $α + ∠BCD = 180°$.

Так как $AB || DC$, сумма односторонних внутренних углов при секущей $BC$ равна $180°$: $∠ABC + ∠BCD = 180°$.

Сравнивая два полученных равенства, заключаем, что $α = ∠ABC$.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $BD$ делит угол $∠ABC$ пополам. Таким образом, $∠ABC = 2 \cdot ∠ABD$.

По условию $∠ABD = 48°$.

$∠ABC = 2 \cdot 48° = 96°$.

Следовательно, $α = 96°$.

Ответ: $α = 96°$.

в)

В ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом. Обозначим точку их пересечения как $O$. Таким образом, $∠AOB = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. Сумма его острых углов равна $90°$.

По условию дан угол $∠BAC = 34°$. В треугольнике $AOB$ это угол $∠BAO$.

Тогда $∠ABO = 90° - ∠BAO = 90° - 34° = 56°$.

Так как $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны: $AB || DC$.

Прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $DC$. Накрест лежащие углы при секущей равны: $∠CDB = ∠ABD$.

Угол $α$ — это угол $∠CDB$, а угол $∠ABD$ — это тот же угол, что и $∠ABO$.

Следовательно, $α = ∠CDB = ∠ABD = 56°$.

Ответ: $α = 56°$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $18^\circ$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $18^\circ$.

Пусть дан ромб. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных пересечением диагоналей. Катеты этого треугольника лежат на диагоналях, а гипотенуза является стороной ромба.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — это углы, которые сторона ромба образует с диагоналями. Эти углы являются острыми углами в рассматриваемом прямоугольном треугольнике.

По условию задачи, разность этих углов равна $ 18^\circ $. Запишем это как уравнение:

$ \alpha - \beta = 18^\circ $

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $ 90^\circ $. Следовательно:

$ \alpha + \beta = 90^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} \alpha - \beta = 18^\circ \\ \alpha + \beta = 90^\circ \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $ \alpha $:

$ (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 18^\circ + 90^\circ $

$ 2\alpha = 108^\circ $

$ \alpha = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ $

Подставим найденное значение $ \alpha $ во второе уравнение, чтобы найти $ \beta $:

$ 54^\circ + \beta = 90^\circ $

$ \beta = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ $

Таким образом, углы, которые сторона ромба образует с диагоналями, равны $ 54^\circ $ и $ 36^\circ $.

Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы самого ромба равны удвоенным значениям $ \alpha $ и $ \beta $.

Один угол ромба равен $ 2\alpha $, а смежный с ним угол равен $ 2\beta $.

Первый угол ромба: $ 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ $.

Второй угол ромба: $ 2 \cdot \beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ $.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому у него два угла по $ 108^\circ $ и два угла по $ 72^\circ $.

Ответ: углы ромба равны $ 72^\circ $ и $ 108^\circ $.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $7 : 8$.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $7 : 8$.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются в точке O. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть образуют угол $90^\circ$. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим любой из четырех прямоугольных треугольников, образованных пересечением диагоналей. Например, треугольник AOB, где AB - сторона ромба, а AO и BO - половины его диагоналей. Угол ∠AOB = $90^\circ$.

Углы, которые сторона AB образует с диагоналями, — это острые углы этого треугольника, ∠OAB и ∠OBA.

По условию задачи, эти углы относятся как 7:8. Обозначим одну часть за $x$. Тогда можно записать:
∠OAB = $7x$
∠OBA = $8x$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Составим и решим уравнение:
∠OAB + ∠OBA = $90^\circ$
$7x + 8x = 90^\circ$
$15x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{15}$
$x = 6^\circ$

Теперь найдем величины этих углов:
∠OAB = $7 \cdot 6^\circ = 42^\circ$
∠OBA = $8 \cdot 6^\circ = 48^\circ$

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то полные углы ромба будут в два раза больше найденных углов.
Острый угол ромба: $2 \cdot$ ∠OAB = $2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$.
Тупой угол ромба: $2 \cdot$ ∠OBA = $2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.

В ромбе два противолежащих угла равны. Таким образом, у ромба два угла по $84^\circ$ и два угла по $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ$, $96^\circ$, $84^\circ$, $96^\circ$.

44. Угол между высотами $AF$ и $AH$, проведёнными из вершины $A$ ромба $ABCD$, равен $36^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $AF$ и $AH$, проведёнными из вершины $A$ ромба $ABCD$, равен $36^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $A$ проведены высоты $AF$ и $AH$ к прямым, содержащим стороны $CD$ и $BC$ соответственно. По условию, угол между этими высотами $\angle FAH = 36^\circ$.

Нахождение углов ромба

Для определения углов ромба рассмотрим два возможных случая, в зависимости от величины угла при вершине $A$.

Случай 1: Угол $\angle A$ ромба — острый.
Если угол при вершине $A$ острый, то смежные с ним углы $\angle B$ и $\angle D$ — тупые. Высота $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, а высота $AF$ перпендикулярна прямой $CD$. Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым. Прямые, содержащие стороны $BC$ и $CD$, образуют угол, равный углу $\angle C$ ромба. Так как в ромбе противолежащие углы равны ($\angle C = \angle A$) и $\angle A$ — острый, то угол между высотами будет равен этому углу. Таким образом, $\angle FAH = \angle A$.
Из условия следует, что $\angle A = 36^\circ$. Тогда тупой угол ромба равен $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.

Случай 2: Угол $\angle A$ ромба — тупой.
Если угол при вершине $A$ тупой, то смежные углы $\angle B$ и $\angle D$ — острые. В этом случае основания высот $H$ и $F$ лежат на отрезках (сторонах) $BC$ и $CD$. Рассмотрим четырехугольник $AHCF$. В этом четырехугольнике $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $AH$ — высота), $\angle AFC = 90^\circ$ (так как $AF$ — высота), $\angle FAH = 36^\circ$ (по условию), а угол $\angle HCF$ равен углу $\angle C$ ромба. Сумма внутренних углов четырехугольника равна $360^\circ$.
$\angle FAH + \angle AHC + \angle HCF + \angle CFA = 360^\circ$
$36^\circ + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle C + 216^\circ = 360^\circ$
$\angle C = 360^\circ - 216^\circ = 144^\circ$
Так как $\angle A = \angle C$, тупой угол ромба равен $144^\circ$, а острый — $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Оба случая приводят к выводу, что углы ромба равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

Нахождение углов, которые образует сторона ромба с его диагоналями

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, чтобы найти искомые углы, нужно разделить углы ромба пополам. Каждая сторона ромба образует с диагоналями, выходящими из ее вершин, углы, равные половине соответствующих углов ромба.
Один из искомых углов равен половине острого угла ромба: $\frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$.
Второй искомый угол равен половине тупого угла ромба: $\frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Эти два угла также являются острыми углами прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба и половинами диагоналей, поэтому их сумма равна $18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $18^\circ$ и $72^\circ$.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $34^\circ$. Найдите углы ромба.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $34^\circ$. Найдите углы ромба.

Пусть нам дан ромб ABCD, где ∠B — тупой угол. Из вершины B проведены высота BH к стороне AD и диагональ BD. По условию, угол между ними ∠HBD = 34°.

Рассмотрим треугольник BHD. Так как BH — высота, она перпендикулярна стороне AD, следовательно, треугольник BHD является прямоугольным с прямым углом $∠BHD = 90°$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Можем найти угол BDH:

$∠BDH = 90° - ∠HBD = 90° - 34° = 56°$.

Угол BDH является частью угла D ромба (∠ADC). В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ BD делит угол D пополам. Это означает, что $∠ADC = 2 \cdot ∠BDA$.

Поскольку $∠BDA = ∠BDH = 56°$, то тупой угол ромба D равен:

$∠D = 2 \cdot 56° = 112°$.

В ромбе противолежащие углы равны, поэтому тупые углы равны:

$∠B = ∠D = 112°$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°. Найдем острые углы ромба:

$∠A = ∠C = 180° - 112° = 68°$.

Ответ: углы ромба равны 68°, 112°, 68°, 112°.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 10 см.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 10 см.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.

Пусть $\angle B$ — тупой угол ромба. Проведём из вершины B высоту BH на сторону AD. По условию задачи, эта высота делит сторону AD пополам, то есть точка H является серединой отрезка AD. Следовательно, $AH = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Он является прямоугольным, так как BH — высота ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза, равная стороне ромба $a$.
• $AH$ — катет, равный $\frac{a}{2}$.

Найдем косинус угла A: $ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} $ Отсюда следует, что острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$.

Меньшая диагональ ромба соединяет вершины его тупых углов, то есть диагональ BD. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он образован двумя сторонами ромба $AB$ и $AD$ и диагональю $BD$.

Поскольку $AB = AD = a$, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным. Мы уже нашли, что угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $AB = AD = BD = a$.

Таким образом, длина меньшей диагонали BD равна длине стороны ромба $a$.

По условию, меньшая диагональ равна 10 см. Значит, $a = 10$ см.

Ответ: 10 см.

47. Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке E. Серединный перпендикуляр отрезка CE пересекает сторону BC в точке F. Найдите периметр четырёхугольника CDEF, если $DE = 7 \text{ см}$.

47. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр отрезка $CE$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите периметр четырёхугольника $CDEF$, если $DE = 7$ см.

1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

2. Прямая $CE$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle DEC = \angle BCE$.

3. По условию, $CE$ — биссектриса угла $C$, а значит, она делит его на два равных угла: $\angle DCE = \angle BCE$.

4. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle DCE = \angle DEC$. Это означает, что треугольник $\triangle CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $CD = DE$. Так как по условию $DE = 7$ см, то и $CD = 7$ см.

5. Точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CE$. По определению, любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояния от точки $F$ до точек $C$ и $E$ равны: $FC = FE$.

6. Теперь рассмотрим четырехугольник $CDEF$. Мы установили, что у него есть две пары равных смежных сторон: $CD = DE = 7$ см и $FC = FE$. Такой четырехугольник называется дельтоидом.

7. Найдем углы этого дельтоида. Обозначим $\angle BCE = \alpha$. Тогда из-за того, что $CE$ — биссектриса, $\angle DCE = \alpha$. Из-за параллельности прямых, $\angle DEC = \alpha$.

В треугольнике $\triangle CDE$ два угла равны $\alpha$, значит, третий угол $\angle CDE = 180^\circ - 2\alpha$.

В треугольнике $\triangle FCE$ стороны $FC$ и $FE$ равны, значит, он равнобедренный. Углы при основании $CE$ равны: $\angle FCE = \angle FEC$. Угол $\angle FCE$ совпадает с углом $\angle BCE$, поэтому $\angle FCE = \alpha$. Следовательно, $\angle FEC = \alpha$. Третий угол этого треугольника $\angle CFE = 180^\circ - 2\alpha$.

8. Мы видим, что в дельтоиде $CDEF$ углы при вершинах $D$ и $F$ равны: $\angle CDE = \angle CFE = 180^\circ - 2\alpha$. В дельтоиде углы, образованные парами равных сторон, могут быть равны только в том случае, если все стороны равны, то есть если дельтоид является ромбом. Таким образом, $CD = DE = EF = FC$.

9. Так как $CD = DE = 7$ см, то и $EF = FC = 7$ см. Все стороны четырехугольника $CDEF$ равны 7 см.

10. Периметр четырехугольника $CDEF$ равен сумме длин его сторон:
$P_{CDEF} = CD + DE + EF + FC = 7 + 7 + 7 + 7 = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ: 28 см.