Номер 43, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $7 : 8$.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $7 : 8$.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются в точке O. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть образуют угол $90^\circ$. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим любой из четырех прямоугольных треугольников, образованных пересечением диагоналей. Например, треугольник AOB, где AB - сторона ромба, а AO и BO - половины его диагоналей. Угол ∠AOB = $90^\circ$.

Углы, которые сторона AB образует с диагоналями, — это острые углы этого треугольника, ∠OAB и ∠OBA.

По условию задачи, эти углы относятся как 7:8. Обозначим одну часть за $x$. Тогда можно записать:
∠OAB = $7x$
∠OBA = $8x$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Составим и решим уравнение:
∠OAB + ∠OBA = $90^\circ$
$7x + 8x = 90^\circ$
$15x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{15}$
$x = 6^\circ$

Теперь найдем величины этих углов:
∠OAB = $7 \cdot 6^\circ = 42^\circ$
∠OBA = $8 \cdot 6^\circ = 48^\circ$

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то полные углы ромба будут в два раза больше найденных углов.
Острый угол ромба: $2 \cdot$ ∠OAB = $2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$.
Тупой угол ромба: $2 \cdot$ ∠OBA = $2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.

В ромбе два противолежащих угла равны. Таким образом, у ромба два угла по $84^\circ$ и два угла по $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ$, $96^\circ$, $84^\circ$, $96^\circ$.