Номер 48, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого равны и делят его углы пополам, является квадратом.

48. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого равны и делят его углы пополам, является квадратом.

Для доказательства того, что данный параллелограмм является квадратом, необходимо показать, что он обладает свойствами и прямоугольника (все углы прямые), и ромба (все стороны равны). Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали равны ($AC = BD$) и делят его углы пополам.

Сначала докажем, что $ABCD$ является прямоугольником. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Они равны по трем сторонам: 1) $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма), 2) $AD$ — общая сторона, 3) $BD = AC$ (по условию). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Теперь докажем, что $ABCD$ является ромбом. По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, следовательно, $\angle BAC = \angle DAC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. Из этих двух равенств получаем, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, $AB = BC$. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($AB=DC$ и $BC=AD$), равенство смежных сторон $AB=BC$ означает, что все стороны параллелограмма равны между собой. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Так как параллелограмм $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны), то по определению он является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.