Номер 46, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 10 см.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 10 см.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.

Пусть $\angle B$ — тупой угол ромба. Проведём из вершины B высоту BH на сторону AD. По условию задачи, эта высота делит сторону AD пополам, то есть точка H является серединой отрезка AD. Следовательно, $AH = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Он является прямоугольным, так как BH — высота ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза, равная стороне ромба $a$.
• $AH$ — катет, равный $\frac{a}{2}$.

Найдем косинус угла A: $ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} $ Отсюда следует, что острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$.

Меньшая диагональ ромба соединяет вершины его тупых углов, то есть диагональ BD. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он образован двумя сторонами ромба $AB$ и $AD$ и диагональю $BD$.

Поскольку $AB = AD = a$, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным. Мы уже нашли, что угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $AB = AD = BD = a$.

Таким образом, длина меньшей диагонали BD равна длине стороны ромба $a$.

По условию, меньшая диагональ равна 10 см. Значит, $a = 10$ см.

Ответ: 10 см.