Номер 51, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Поскольку треугольник равнобедренный, его углы при основании (гипотенузе) равны: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В этот треугольник вписан квадрат $KLMN$ со стороной 6 см. Две вершины квадрата, $K$ и $L$, лежат на гипотенузе $AB$, а две другие вершины, $N$ и $M$, — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Из этого следует, что сторона квадрата $KL$ лежит на гипотенузе $AB$, а стороны $NK$ и $ML$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ANK$. Угол $\angle AKN$ является прямым, так как $NK$ — сторона квадрата, перпендикулярная $KL$. Угол $\angle A = 45^\circ$ по условию. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ANK$ два угла равны ($\angle A = \angle ANK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AK = NK$. Так как $NK$ — это сторона квадрата, ее длина равна 6 см. Значит, $AK = 6$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BML$. Он также является прямоугольным ($\angle BLM = 90^\circ$) и равнобедренным, так как $\angle B = 45^\circ$. Следовательно, $BL = ML = 6$ см.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Найдем ее длину, зная, что $KL$ также является стороной квадрата и равна 6 см: $AB = AK + KL + LB = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Обозначим эту высоту $CH$. Тогда: $CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.