Номер 52, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. На продолжении стороны $BC$ квадрата $ABCD$ за точку $C$ отметили точку $K$ такую, что $\angle KAD = 2\angle CAK$.

Найдите отрезок $AK$, если сторона квадрата равна 4 см.

52. На продолжении стороны $BC$ квадрата $ABCD$ за точ-ку $C$ отметили точку $K$ такую, что $\angle KAD = 2\angle CAK$.

Найдите отрезок $AK$, если сторона квадрата равна 4 см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a=4$ см. Диагональ $AC$ квадрата является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle DAC = \angle CAB = 45^\circ$.

Точка $K$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Рассмотрим лучи, выходящие из вершины $A$: $AD$, $AC$ и $AK$. Так как точка $K$ находится на прямой, содержащей сторону $BC$, но вне отрезка $BC$ со стороны точки $C$, то луч $AK$ будет расположен между лучами $AD$ и $AC$. Следовательно, угол $\angle DAC$ складывается из углов $\angle DAK$ и $\angle CAK$.

$\angle DAC = \angle DAK + \angle CAK$

По условию задачи, $\angle KAD = 2\angle CAK$. Обозначим $\angle CAK = \alpha$. Тогда $\angle KAD = 2\alpha$. Подставим эти выражения и известное значение $\angle DAC = 45^\circ$ в равенство выше:

$45^\circ = 2\alpha + \alpha$

$3\alpha = 45^\circ$

$\alpha = 15^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle CAK = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACK$ для вычисления длины стороны $AK$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата со стороной $a=4$ см, ее длина равна $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем угол $\angle ACK$. Так как точки $B$, $C$, $K$ лежат на одной прямой, а угол $\angle BCA$ в квадрате равен $45^\circ$, то смежный с ним угол $\angle ACK = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Зная два угла треугольника $\triangle ACK$ ($\angle CAK = 15^\circ$ и $\angle ACK = 135^\circ$), найдем третий угол $\angle AKC$:

$\angle AKC = 180^\circ - (\angle CAK + \angle ACK) = 180^\circ - (15^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ACK$:

$\frac{AK}{\sin(\angle ACK)} = \frac{AC}{\sin(\angle AKC)}$

$\frac{AK}{\sin(135^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)}$

Отсюда выразим $AK$:

$AK = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Подставим известные значения синусов: $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$AK = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.