Номер 53, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Постройте квадрат по отрезку, соединяющему середины двух соседних его сторон.

53. Постройте квадрат по отрезку, соединяющему середины двух соседних его сторон.

Анализ

Пусть искомый квадрат – это $ABCD$, а $M$ и $N$ – середины его смежных сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Дан отрезок $MN$.

Рассмотрим треугольник $MBN$. Так как $ABCD$ – квадрат, то $\angle ABC = 90^\circ$. Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Поскольку в квадрате все стороны равны ($AB = BC$), то и $MB = BN$.

Следовательно, треугольник $MBN$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$. Отрезок $MN$ является его гипотенузой.

Таким образом, задача сводится к построению вершины $B$ этого треугольника по его гипотенузе $MN$, а затем – к построению всего квадрата.

Построение

Пусть дан отрезок $MN$.
1. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Для этого проведём две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины $MN$) с центрами в точках $M$ и $N$. Через точки пересечения этих окружностей проведём прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $MN$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $MN$ как $O$.
2. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OM$.
3. Точки пересечения окружности и серединного перпендикуляра являются возможными положениями вершины $B$ искомого квадрата. Выберем одну из них и обозначим ее $B$.
4. Проведём прямую через точки $B$ и $M$.
5. На этой прямой отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный $MB$, так, чтобы точка $M$ оказалась между $A$ и $B$. Точка $A$ – одна из вершин квадрата.
6. Проведём прямую через точки $B$ и $N$.
7. На этой прямой отложим от точки $N$ отрезок $NC$, равный $NB$, так, чтобы точка $N$ оказалась между $B$ и $C$. Точка $C$ – еще одна вершина квадрата.
8. Для нахождения четвертой вершины $D$ построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ и окружность с центром в точке $C$ и радиусом $BC$. Точка их пересечения (отличная от $B$) и будет вершиной $D$.
9. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ – искомый квадрат.

Доказательство

По построению (шаги 1-3), точка $B$ лежит на окружности с диаметром $MN$. Следовательно, по теореме о вписанном угле, угол $\angle MBN$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Также точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $MB = NB$.

Таким образом, треугольник $MBN$ – равнобедренный и прямоугольный.

По построению (шаги 4-7), $M$ – середина $AB$ ($AM = MB$) и $N$ – середина $BC$ ($CN = NB$).

Из того, что $MB = NB$, следует, что стороны $AB = 2 \cdot MB$ и $BC = 2 \cdot NB$ равны между собой.

Угол $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle MBN$, так как их стороны лежат на одних и тех же прямых ($AB$ на прямой $MB$, $BC$ на прямой $NB$). Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$.

По построению (шаг 8), $AD = BC$ и $CD = AB$. Так как мы уже доказали, что $AB = BC$, то все стороны четырехугольника $ABCD$ равны ($AB = BC = CD = DA$). Это означает, что $ABCD$ – ромб.

Поскольку у ромба $ABCD$ есть прямой угол ($\angle ABC = 90^\circ$), то этот ромб является квадратом.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является квадратом, а точки $M$ и $N$ – серединами его смежных сторон. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомый квадрат строится согласно приведенному выше алгоритму.