Номер 50, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 10$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите отрезок $AD$.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 10$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите отрезок $AD$.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$, у которого катеты равны: $AC = BC = 10$ см. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его углы при гипотенузе $AB$ равны $45°$.

$∠CAB = ∠CBA = (180° - 90°)/2 = 45°$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$. Две его стороны, $CD$ и $CF$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Это значит, что вершина $C$ квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Вершина $E$ квадрата лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = DE = x$.

Поскольку точка $D$ лежит на катете $AC$, мы можем выразить длину отрезка $AD$ через сторону квадрата:

$AD = AC - CD = 10 - x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $CDEF$ — квадрат, его сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, а значит, и катету $BC$. Поскольку $AC \perp BC$, то и $AC \perp DE$. Следовательно, $∠ADE = 90°$, и треугольник $ADE$ является прямоугольным.

Угол $A$ у треугольников $ABC$ и $ADE$ общий, поэтому $∠DAE = ∠CAB = 45°$.

В прямоугольном треугольнике $ADE$ один из острых углов равен $45°$, значит, и второй острый угол $∠AED$ тоже равен $45°$ ($90° - 45° = 45°$). Таким образом, треугольник $ADE$ является равнобедренным, и его катеты равны:

$AD = DE$.

Теперь приравняем выражения, которые мы получили для $AD$ и $DE$:

$10 - x = x$

Решим это простое уравнение:

$2x = 10$

$x = 5$ см.

Мы нашли, что сторона квадрата равна 5 см. Теперь можем найти длину искомого отрезка $AD$:

$AD = 10 - x = 10 - 5 = 5$ см.

Ответ: 5 см.