Номер 47, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке E. Серединный перпендикуляр отрезка CE пересекает сторону BC в точке F. Найдите периметр четырёхугольника CDEF, если $DE = 7 \text{ см}$.

47. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр отрезка $CE$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите периметр четырёхугольника $CDEF$, если $DE = 7$ см.

1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

2. Прямая $CE$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle DEC = \angle BCE$.

3. По условию, $CE$ — биссектриса угла $C$, а значит, она делит его на два равных угла: $\angle DCE = \angle BCE$.

4. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle DCE = \angle DEC$. Это означает, что треугольник $\triangle CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $CD = DE$. Так как по условию $DE = 7$ см, то и $CD = 7$ см.

5. Точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CE$. По определению, любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояния от точки $F$ до точек $C$ и $E$ равны: $FC = FE$.

6. Теперь рассмотрим четырехугольник $CDEF$. Мы установили, что у него есть две пары равных смежных сторон: $CD = DE = 7$ см и $FC = FE$. Такой четырехугольник называется дельтоидом.

7. Найдем углы этого дельтоида. Обозначим $\angle BCE = \alpha$. Тогда из-за того, что $CE$ — биссектриса, $\angle DCE = \alpha$. Из-за параллельности прямых, $\angle DEC = \alpha$.

В треугольнике $\triangle CDE$ два угла равны $\alpha$, значит, третий угол $\angle CDE = 180^\circ - 2\alpha$.

В треугольнике $\triangle FCE$ стороны $FC$ и $FE$ равны, значит, он равнобедренный. Углы при основании $CE$ равны: $\angle FCE = \angle FEC$. Угол $\angle FCE$ совпадает с углом $\angle BCE$, поэтому $\angle FCE = \alpha$. Следовательно, $\angle FEC = \alpha$. Третий угол этого треугольника $\angle CFE = 180^\circ - 2\alpha$.

8. Мы видим, что в дельтоиде $CDEF$ углы при вершинах $D$ и $F$ равны: $\angle CDE = \angle CFE = 180^\circ - 2\alpha$. В дельтоиде углы, образованные парами равных сторон, могут быть равны только в том случае, если все стороны равны, то есть если дельтоид является ромбом. Таким образом, $CD = DE = EF = FC$.

9. Так как $CD = DE = 7$ см, то и $EF = FC = 7$ см. Все стороны четырехугольника $CDEF$ равны 7 см.

10. Периметр четырехугольника $CDEF$ равен сумме длин его сторон:
$P_{CDEF} = CD + DE + EF + FC = 7 + 7 + 7 + 7 = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ: 28 см.