Номер 42, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $18^\circ$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $18^\circ$.

Пусть дан ромб. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных пересечением диагоналей. Катеты этого треугольника лежат на диагоналях, а гипотенуза является стороной ромба.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — это углы, которые сторона ромба образует с диагоналями. Эти углы являются острыми углами в рассматриваемом прямоугольном треугольнике.

По условию задачи, разность этих углов равна $ 18^\circ $. Запишем это как уравнение:

$ \alpha - \beta = 18^\circ $

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $ 90^\circ $. Следовательно:

$ \alpha + \beta = 90^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} \alpha - \beta = 18^\circ \\ \alpha + \beta = 90^\circ \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $ \alpha $:

$ (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 18^\circ + 90^\circ $

$ 2\alpha = 108^\circ $

$ \alpha = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ $

Подставим найденное значение $ \alpha $ во второе уравнение, чтобы найти $ \beta $:

$ 54^\circ + \beta = 90^\circ $

$ \beta = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ $

Таким образом, углы, которые сторона ромба образует с диагоналями, равны $ 54^\circ $ и $ 36^\circ $.

Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы самого ромба равны удвоенным значениям $ \alpha $ и $ \beta $.

Один угол ромба равен $ 2\alpha $, а смежный с ним угол равен $ 2\beta $.

Первый угол ромба: $ 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ $.

Второй угол ромба: $ 2 \cdot \beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ $.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому у него два угла по $ 108^\circ $ и два угла по $ 72^\circ $.

Ответ: углы ромба равны $ 72^\circ $ и $ 108^\circ $.