Номер 40, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $DE$ и $DF$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $D$.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $DE$ и $DF$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $D$.

Пусть O — центр окружности. Обозначим середины хорд DE и DF как M и N соответственно. Требуется найти расстояние от центра O до точки D, то есть длину отрезка OD.

Рассмотрим четырехугольник OMDN. По свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен ей. Таким образом, $OM \perp DE$ и $ON \perp DF$. Это означает, что углы $\angle OMD$ и $\angle OND$ являются прямыми: $\angle OMD = 90^\circ$ и $\angle OND = 90^\circ$.

Из условия задачи известно, что хорды DE и DF перпендикулярны, то есть $\angle EDF = 90^\circ$. Этот угол также является углом $\angle MDN$ в четырехугольнике OMDN.

Таким образом, в четырехугольнике OMDN три угла равны $90^\circ$: $\angle MDN$, $\angle OMD$ и $\angle OND$. Так как сумма углов в любом четырехугольнике составляет $360^\circ$, то и четвертый угол $\angle MON$ должен быть равен $360^\circ - 3 \times 90^\circ = 90^\circ$.

Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, OMDN — прямоугольник.

Одним из ключевых свойств прямоугольника является равенство его диагоналей. Диагоналями в прямоугольнике OMDN являются отрезки OD и MN. Значит, $OD = MN$.

По условию, длина отрезка, соединяющего середины хорд (MN), равна 6 см. Следовательно, длина отрезка OD также равна 6 см.

Ответ: 6 см.