Номер 41, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. На рисунке 91 четырёхугольник ABCD — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 91

a

б

в

41. На рисунке 91 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 91

а

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $\alpha$, $78^\circ$.

б

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $48^\circ$, $\alpha$.

в

Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Углы: $34^\circ$, $\alpha$.

а)

Поскольку $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB || DC$. Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $∠ABD = ∠BDC = 78°$.

Также у ромба все стороны равны, в частности $AB = AD$. Таким образом, треугольник $ABD$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ADB = ∠ABD = 78°$.

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180°$. Угол $α$ — это угол $∠DAB$.

$α = ∠DAB = 180° - (∠ABD + ∠ADB) = 180° - (78° + 78°) = 180° - 156° = 24°$.

Ответ: $α = 24°$.

б)

Поскольку $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны: $AB || DC$.

Угол $α$ является внешним углом при вершине $C$ ромба и смежен с углом $∠BCD$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому $α + ∠BCD = 180°$.

Так как $AB || DC$, сумма односторонних внутренних углов при секущей $BC$ равна $180°$: $∠ABC + ∠BCD = 180°$.

Сравнивая два полученных равенства, заключаем, что $α = ∠ABC$.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $BD$ делит угол $∠ABC$ пополам. Таким образом, $∠ABC = 2 \cdot ∠ABD$.

По условию $∠ABD = 48°$.

$∠ABC = 2 \cdot 48° = 96°$.

Следовательно, $α = 96°$.

Ответ: $α = 96°$.

в)

В ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом. Обозначим точку их пересечения как $O$. Таким образом, $∠AOB = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. Сумма его острых углов равна $90°$.

По условию дан угол $∠BAC = 34°$. В треугольнике $AOB$ это угол $∠BAO$.

Тогда $∠ABO = 90° - ∠BAO = 90° - 34° = 56°$.

Так как $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны: $AB || DC$.

Прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $DC$. Накрест лежащие углы при секущей равны: $∠CDB = ∠ABD$.

Угол $α$ — это угол $∠CDB$, а угол $∠ABD$ — это тот же угол, что и $∠ABO$.

Следовательно, $α = ∠CDB = ∠ABD = 56°$.

Ответ: $α = 56°$.