Номер 44, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Угол между высотами $AF$ и $AH$, проведёнными из вершины $A$ ромба $ABCD$, равен $36^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $AF$ и $AH$, проведёнными из вершины $A$ ромба $ABCD$, равен $36^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $A$ проведены высоты $AF$ и $AH$ к прямым, содержащим стороны $CD$ и $BC$ соответственно. По условию, угол между этими высотами $\angle FAH = 36^\circ$.

Нахождение углов ромба

Для определения углов ромба рассмотрим два возможных случая, в зависимости от величины угла при вершине $A$.

Случай 1: Угол $\angle A$ ромба — острый.
Если угол при вершине $A$ острый, то смежные с ним углы $\angle B$ и $\angle D$ — тупые. Высота $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, а высота $AF$ перпендикулярна прямой $CD$. Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым. Прямые, содержащие стороны $BC$ и $CD$, образуют угол, равный углу $\angle C$ ромба. Так как в ромбе противолежащие углы равны ($\angle C = \angle A$) и $\angle A$ — острый, то угол между высотами будет равен этому углу. Таким образом, $\angle FAH = \angle A$.
Из условия следует, что $\angle A = 36^\circ$. Тогда тупой угол ромба равен $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.

Случай 2: Угол $\angle A$ ромба — тупой.
Если угол при вершине $A$ тупой, то смежные углы $\angle B$ и $\angle D$ — острые. В этом случае основания высот $H$ и $F$ лежат на отрезках (сторонах) $BC$ и $CD$. Рассмотрим четырехугольник $AHCF$. В этом четырехугольнике $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $AH$ — высота), $\angle AFC = 90^\circ$ (так как $AF$ — высота), $\angle FAH = 36^\circ$ (по условию), а угол $\angle HCF$ равен углу $\angle C$ ромба. Сумма внутренних углов четырехугольника равна $360^\circ$.
$\angle FAH + \angle AHC + \angle HCF + \angle CFA = 360^\circ$
$36^\circ + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle C + 216^\circ = 360^\circ$
$\angle C = 360^\circ - 216^\circ = 144^\circ$
Так как $\angle A = \angle C$, тупой угол ромба равен $144^\circ$, а острый — $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Оба случая приводят к выводу, что углы ромба равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

Нахождение углов, которые образует сторона ромба с его диагоналями

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, чтобы найти искомые углы, нужно разделить углы ромба пополам. Каждая сторона ромба образует с диагоналями, выходящими из ее вершин, углы, равные половине соответствующих углов ромба.
Один из искомых углов равен половине острого угла ромба: $\frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$.
Второй искомый угол равен половине тупого угла ромба: $\frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Эти два угла также являются острыми углами прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба и половинами диагоналей, поэтому их сумма равна $18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $18^\circ$ и $72^\circ$.