Номер 58, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними — $64^{\circ}$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними — $64^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть $ABCD$ — исходный четырёхугольник, а $M, N, P, Q$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По условию, диагонали $AC = 9$ см, $BD = 4$ см, а угол между ними равен $64^\circ$.

Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Это утверждение известно как теорема Вариньона. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника, а их длины равны половинам длин соответствующих диагоналей.

Стороны четырёхугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, $MN$ параллельна стороне $AC$ и равна её половине.
$MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$ см.
Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией, поэтому он также параллелен $AC$ и равен $PQ = \frac{1}{2} AC = 4,5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $MQ$ параллельна стороне $BD$ и равна её половине.
$MQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ является средней линией, поэтому $NP = \frac{1}{2} BD = 2$ см.
Таким образом, искомый четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом со сторонами 4,5 см и 2 см.
Ответ: две стороны равны 4,5 см, две другие стороны равны 2 см.

Углы четырёхугольника

Мы установили, что стороны параллелограмма $MNPQ$ попарно параллельны диагоналям исходного четырёхугольника: $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми другими двумя прямыми, которые соответственно им параллельны. Следовательно, углы параллелограмма $MNPQ$ равны углам, которые образуют диагонали $AC$ и $BD$ при пересечении.

По условию, один из углов между диагоналями равен $64^\circ$. При пересечении двух прямых образуются две пары равных (вертикальных) углов. Одна пара углов равна $64^\circ$. Углы из другой пары смежны с углами в $64^\circ$, поэтому они равны:
$180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, углы параллелограмма $MNPQ$ будут равны $64^\circ$ и $116^\circ$.
Ответ: два противолежащих угла равны $64^\circ$, а два других — $116^\circ$.