Номер 62, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $F$ и $N$ соответственно, что $AF : FC = AN : NB = 1 : 3$. Найдите сторону $BC$, если $FN = 9$ см.

62. На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $F$ и $N$ соответственно, что $AF : FC = AN : NB = 1 : 3$. Найдите сторону $BC$, если $FN = 9$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AFN$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ является общим для этих двух треугольников.

2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу.

Из условия $AF : FC = 1 : 3$ следует, что вся сторона $AC$ состоит из $1+3=4$ частей. Значит, отрезок $AF$ составляет $\frac{1}{4}$ всей стороны $AC$.

$$ \frac{AF}{AC} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} $$

Аналогично, из условия $AN : NB = 1 : 3$ следует, что вся сторона $AB$ состоит из $1+3=4$ частей. Значит, отрезок $AN$ составляет $\frac{1}{4}$ всей стороны $AB$.

$$ \frac{AN}{AB} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} $$

Поскольку угол $\angle A$ — общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны ($\frac{AF}{AC} = \frac{AN}{AB}$), то треугольники $\triangle AFN$ и $\triangle ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$$ k = \frac{AF}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{4} $$

В подобных треугольниках отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение сторон $FN$ и $BC$ также равно $k$.

$$ \frac{FN}{BC} = k = \frac{1}{4} $$

По условию $FN = 9$ см. Подставим это значение в полученное равенство:

$$ \frac{9}{BC} = \frac{1}{4} $$

Отсюда найдем длину стороны $BC$:

$$ BC = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см} $$

Ответ: 36 см.