Номер 60, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является квадратом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является квадратом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — данный четырёхугольник, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По условию, четырёхугольник $KLMN$ является квадратом.

1. Докажем, что диагонали равны ($AC = BD$).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины этой стороны:

$KL = \frac{1}{2}AC$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины его сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии:

$KN = \frac{1}{2}BD$

Так как $KLMN$ — квадрат, все его стороны равны. В частности, $KL = KN$. Приравнивая выражения для длин этих сторон, получаем:

$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$AC = BD$

Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны.

2. Докажем, что диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Из свойства средней линии мы знаем, что:

$KL \parallel AC$

$KN \parallel BD$

Поскольку $KLMN$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, то есть угол между сторонами $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$.

$KL \perp KN$

Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые соответственно им параллельны. Так как $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу между сторонами $KL$ и $KN$. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ также перпендикулярны:

$AC \perp BD$

Мы доказали, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: диагонали данного четырёхугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.