Номер 59, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Определите вид четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника, диагонали — равны и перпендикулярны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника, диагонали — равны и перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Требуется определить вид четырёхугольника $KLMN$, зная, что диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны.

1. Сначала докажем, что четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом. Для этого воспользуемся свойством средней линии треугольника.

В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм (этот факт также известен как теорема Вариньона).

2. Теперь используем условия, данные в задаче, для определения вида этого параллелограмма.

По условию, диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Рассмотрим сторону $KN$ параллелограмма $KLMN$. Она является средней линией в треугольнике $ABD$, а значит $KN \parallel BD$. Мы уже установили, что $KL \parallel AC$. Поскольку $KL \parallel AC$, $KN \parallel BD$ и $AC \perp BD$, то и смежные стороны параллелограмма $KL$ и $KN$ также перпендикулярны: $KL \perp KN$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $KLMN$ — это прямоугольник.

По условию, диагонали исходного четырёхугольника равны, то есть $AC = BD$. Мы знаем, что длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$ равны $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то и $KL = KN$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, $KLMN$ — это ромб.

3. Совместим полученные выводы. Четырёхугольник $KLMN$ является одновременно и прямоугольником (потому что диагонали $ABCD$ перпендикулярны), и ромбом (потому что диагонали $ABCD$ равны). Четырёхугольник, который является и прямоугольником, и ромбом, — это квадрат.

Ответ: квадрат.